Простые и сложные проценты в банках. где выгода? — тонкости инвестиций

Простые и сложные проценты. Калькулятор сложных процентов

Начисление процентов — одна из основных операций в экономике и инвестировании. Самый близкий всем пример — депозит в банке, где вложенные деньги в конце периода возвращаются к владельцу с прибылью.

А что будет, если повторить этот цикл несколько раз? Тут то и появляется понятие простых и сложных процентов, которым посвящена эта статья.

Содержание:

Простые и сложные проценты

Инвесторы, которые работают на рынке Форекс, сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.

Поэтому все, кто интересуется инвестициями на Форексе, будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.

Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.

В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется постоянно — фактически после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.

Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:

Простые и сложные проценты на одном графике

Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

  • начальная сумма вклада (K нулевая или К0)
  • ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
  • количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1)5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

Можно даже подсчитать прибыль в процентах, для этого нужно найти не разницу, а отношение между конечной и стартовой суммой:

P (%) = K/К0 — 1 = 16105.1$ / 10000$— 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Используем формулу:

К0 = 1000000₽ / (1 + 0.2)3 =  578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Начнем с процентной ставки:

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

Для начала нужно посчитать конечную сумму, так как мы знаем только прибыль:

K = К0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Напоследок давайте выясним, как рассчитать, на какой срок нужно положить деньги, чтобы получить нужную нам прибыль. Без логарифмов не обойтись:

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

Калькулятор сложных процентов от Вебинвеста

Многие формулы сложных процентов по вкладам на обычном калькуляторе не посчитаешь — нужно использовать специальные программы или сайты. Microsoft Excel позволяет делать практически любые прикладные расчёты быстро и удобно — всего-то нужно скачать файл и работать с ним.

По формулам из статьи я сделал небольшой калькулятор для расчёта сложных процентов. Вот так выглядит одна из страниц:

Скриншот из калькулятора сложных процентов с капитализацией. 

С помощью файла вы сможете решить задачи, которые мы рассматривали по ходу статьи:

  • расчёт конечной суммы вклада;
  • расчёт начальной суммы вклада;
  • расчёт нужной процентной ставки;
  • расчёт срока инвестирования;
  • расчёт конечной суммы вклада с учётом добавочных вложений или снятия прибыли.

Как получить калькулятор сложных процентов от Вебинвеста? Очень легко — воспользуйтесь формой ниже:

Больше подробностей о калькуляторе сложных процентов вы можете узнать на этой странице.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

На этом всё на сегодня. Удачи и терпения в инвестициях!

Источник: https://webinvestor.pro/prostye-i-slozhnye-procenty/

Простые и сложные проценты

ВВЕРХ

     На сегодняшний день наиболее простой по энергозатратам способ получения прибыли – это инвестиции. Особых усилий прикладывать не нужно, если имеются свободные денежные средства, их нужно положить в банк и спокойно ждать, когда сумма вклада увеличится до желаемого размера. Однако, есть здесь и свои риски.

Не будем говорить о самых страшных, когда банк может просто обанкротиться. Риск существует и при неправильном или плохо просчитанном вложении средств. В этом случае вкладчик рискует не получить желаемой прибыли или получить ее в меньшем размере. В последнее время очень популярен инвестиционный заработок в интернете.

 

     Основной операцией в инвестиционной и экономической деятельности является операция начисления процентов. Что же это за операция? Поясним на конкретном примере.

Например, когда вкладчик открывает в банке депозит, то через определенный период времени средства возвращаются к нему с прибылью. Вполне логично, что, получив прибыль, вкладчик захочет еще раз провести ту же операцию, а возможно, и несколько раз.

Вот здесь перед ним и возникают такие понятия, как простые и сложные проценты. Какой из этих показателей более выгодный. Попробуем разобраться.

С повторным или неоднократным вложением денег регулярно сталкиваются не только профессиональные инвесторы или рядовые вкладчики, но и те, кто работают на валютных биржах.

И если, скажем, при вложении денег в банк депозит приносит прибыль через определенное время, то при инвестировании в валютной сфере прибыль или наоборот, убыток, появляются после проведения каждой операции.

Поэтому и просчитывать возможную прибыль здесь необходимо более тщательно, чем при банковских вкладах.

Под простым процентом понимается прибыль, которая начисляется только на первоначальную сумму за каждый определенный промежуток времени.

 

Например, владелец кладет в банк депозит в размере 5000$, ставка 20% годовых. Простой процент будет приносить прибыль в размере 1000$ каждый год, независимо от того, какая сумма уже накопилась на счету за это время и независимо от того, оставляет он проценты в банке или регулярно снимает их.

То есть при схеме простого процента база начисления прибыли всегда равна первоначальной вложенной сумме. Этот вид начисления процентов используется при специальных банковских депозитах, а также при оформлении кредита.

Если инвестор намерен периодически выводить прибыль со своего счета, ему также будет предложен депозит с начислением простого процента.

 

Сложный процент – несколько иная форма начисления процентов по вкладу. Прибыль здесь начисляется не на первоначальный взнос, а на целую сумму, вместе с уже начисленными процентами, которая в данный момент находится на счету у вкладчика. То есть, по истечении каждого периода сумма, на которую начисляется прибыль, пропорционально увеличивается.

Возьмем тот же пример с депозитом в размере 5000$ и ставкой 20% в год. В первый год проценты будут начисляться с 5000$, и прибыль составит 1000$. В следующем году процент уже будет начисляться с 6000$ и так далее, пока вкладчик не примет решение вывести депозит со счета.

Схема сложного процента используется на валютных и других биржах, потому что в этой области постоянно меняются суммы вложений. Также эта схема удобна, если инвестору нет необходимости выводить прибыль после окончания определенного периода. В этом случае деньги «работают» на своего владельца постоянно.

Еще один пример, когда лучше использовать сложный процент, это когда планируется периодически или регулярно пополнять сумму вклада.

 
 При первом знакомстве кажется, что между простыми и сложными процентами не так уж много отличий. Однако, преимущество сложных процентов очевидно, и с течением времени оно становится более явным. При использовании схемы сложного процента можно увеличить сумму инвестиции в несколько раз. Приведенные ниже примеры покажут наглядно, насколько выгоднее использовать сложные проценты. А чтобы использовать их грамотно, нужно уметь считать их правильно. В этом помогут следующие формулы.

Читайте также:  Купи и держи — стратегия пассивного инвестирования обыгрывающая большинство трейдеров - тонкости инвестиций

Для того, чтобы просчитать, как приумножить деньги сложными процентами и какую прибыль принесет банковский вклад за несколько лет, нужно знать следующие показатели:

 

  • первоначальный размер вклада К0
  • количество лет, за которые нужно просчитать доход n

По следующей формуле можно рассчитать эту самую конечную прибыль:
К=К0*(1+R)n А просчитав размер конечной суммы, легко можно установить размер прибыли – это разница между конечной и первоначальной суммами.

При помощи приведенной выше формулы всегда можно просчитать, какой результат принесет в будущем инвестиция.

 

     Иногда возникают ситуации, когда нужно, наоборот, вычислить стартовую сумму вклада.

Тогда эту формулу нужно преобразовать вот в такой вид:
K0=K/(1+R)n С помощью формулы можно узнать и такой параметр, как процентная ставка.

Эта информация требуется, когда инвестор, к примеру, хочет узнать, какую ставку ему выбрать, и на какой период нужно сделать вклад, чтобы получить конкретную прибыль.

Формула вычисления сложных процентов:

R=n?K/K0-1 А вот по этой формуле высчитывается период времени, на который нужно вложить средства, чтобы получить определенную желаемую прибыль:

n=log1+R*K/K0

 

     При расчете срока вклада для получения определенной прибыли следует учитывать тот факт, что практически все банки используют целые периоды.

То есть, если расчет по формуле показал, что средства для получения конкретной прибыли нужно вложить на 3 года и 9 месяцев, то нужно понимать, что в реальности необходимо будет положить депозит на 4 полных года.
Есть и более сложные примеры расчетов прибыли по сложным процентам.

К таким примерам относятся вклады с возможностью пополнения. Допустим, у вкладчика есть депозит, который он ежемесячно пополняет определенной суммой. Как же рассчитать, какую прибыль он получит с такого депозита?

Здесь уже простой формулой расчета не обойтись, нужны более сложные механизмы.
Рассмотрим эту задачу на конкретном примере: вкладчик положил на счет 1000$ и каждый месяц добавляет к нему 50$. Допустим, процентная ставка составляет 1% в месяц.

Для подсчета конечной суммы через пять лет нужно подставить в приведенные выше формулы показатели за каждый период, т.е. за 60 месяцев. Ведь сумма увеличивается не только за счет процентов, но и за счет ежемесячного добавления. При данных условиях по итогам первого месяца сумма на счету составила 1010$. К ней добавились еще 50$.

То есть, для расчета конечной суммы во второй месяц процент нужно начислять уже на 1060$. И так далее, до окончания задуманного срока.

 

Конечно, каждый раз производить такие вычисления довольно сложно, особенно тем, кто не владеет достаточными познаниями в математике. Да и таблицы такие каждый раз не насоставляешься. Поэтому специально для вычисления сложных процентов по вкладам можно разработать свой калькулятор например в таблице excel.

 

Итак, очевидна разница между простыми и сложными процентами. Однако, следует отметить, что и схема простых процентов при грамотном ее использовании также может принести довольно хорошие результаты в виде прибыли.

Более того, простые проценты являются единственным приемлемым вариантом, когда вкладчик нуждается в регулярном выводе средств со счета. Тогда он просто выводит сумму прибыли, накопившейся за месяц, полгода или год.

Тогда как сложные проценты более приемлемы в случае долгосрочного вклада и повторного реинвестирования.

Источник: https://trey.pro/base/56-prostye-i-slozhnye-procenty.html

Что такое сложный процент?

Вкладывая деньги в банк, вкладчик всегда знает, под какую процентную ставку он их отдает, и какую сумму получит через год или иной выбранный промежуток времени. Например, вы вкладываете 100 000 рублей сроком на 1 год под 10% годовых. Это значит, что через год ваш капитал будет составлять 110 000 рублей.

А что же такое сложный процент? Это начисление процентов на полученные проценты – то есть капитализация прибыли. Например, вы вложили 100 000 рублей на 3 года под 10% годовых с капитализацией прибыли.

Через год у вас будет 110 000 рублей, и при дальнейшем начислении прибыли будет учитываться уже именно эта сумма.

То есть к концу второго года вы получите уже 121 000 рублей, а к концу третьего года – 133 100 рублей.

Капитализация прибыли оказывается наиболее впечатляющей там, где доход может быть получен за максимально короткое время. Например, на валютном рынке Форекс. Одна сделка занимает по времени от нескольких минут до нескольких дней, в среднем – несколько часов (при торговле внутри дня). Человеку, умеющему стабильно торговать с прибылью, ее капитализация позволяет получать очень высокие доходы.

Расчет сложного процента

Рассмотрим вышесказанное на конкретном примере. Допустим, вы располагаете депозитом в размере 100$, используемая торговая система позволяет ежемесячно получать 30% прибыли. Отметим, что для Форекса это далеко не самые высокие показатели. Какой суммой вы будете располагать через год торговли?

Чтобы выполнить расчеты, возьмем калькулятор, введем цифру 100 и умножим на 1,3 – что будет соответствовать тридцати процентам. Теперь двенадцать раз нажмем знак «=», каждое нажатие будет выводить нам новую сумму с учетом капитализации процентов. В итоге у нас получится такая картина:

Исходный депозит – 100$.

  • 1 – 130$.
  • 2 – 169$.
  • 3 – 219,7$.
  • 4 – 285,61$.
  • 5 – 371,29$.
  • 6 – 482,68$.
  • 7 – 627,48$.
  • 8 – 815,73$.
  • 9 – 1060,44$.
  • 10 – 1378,58$.
  • 11 – 1792,16$.
  • 12 – 2329,80$.

Как видите, из 100$ через год торговли мы получили больше 2300$. Вряд ли существует какая-то другая возможность получать столь же высокие доходы. Разумеется, необходимо понимать, что торговля на Форексе может принести и убытки. Именно поэтому при расчете возможного дохода следует брать реальные результаты торговли за достаточно продолжительный период, не меньше месяца.

Как поступить, если вы пока не можете торговать с прибылью или вообще не хотите заниматься самостоятельной торговлей? В этом случае можно вложить средства в инвестиционные ПАММ портфели с капитализацией процентов.

Разумеется, в этом случае доход будет значительно меньше того, что мы приводили в наших расчетах – порядка 10% в месяц. Но и это несопоставимо больше того, что можно получить в банке.

При этом надежность таких инвестиций достаточно высока, так как инвестиционный портфель складывается из большого количества активов.

В любом случае, сложный процент – это замечательный инструмент преумножения своего капитала, так как средства растут в геометрической прогрессии. Чем дольше вы не выводите свои капиталы из оборота, тем выше ваша прибыль.

Источник: http://profit-investment.ru/stati/183-chto-takoe-slozhnyj-protsent

Формула сложных процентов по вкладам. Расчет, рекомендации

Имеющие сбережения заинтересованы в их сохранности и получении дополнительного дохода. Поэтому, выбрав надежный банк, вкладчики изучают условия и подсчитывают возможную прибыль. В большинстве случаев на вклады банки предлагают начисление сложных процентов.<\p>

Что это такое, чем выгодна такая схема, и какова формула сложных процентов по вкладам? Об этом расскажем ниже.

Что такое сложный процент?

Этим термином называют эффект, при котором к основной сумме вклада прибавляются проценты прибыли. Например, на вклад в сумме 100 000 рублей банк ежемесячно начисляет проценты.

Допустим, что процентная ставка составляет 10% годовых, и за первый месяц начислено 833 рубля. В следующем месяце на вкладе образуется сумма в размере 10 833 рубля, и на нее банк будет начислять проценты.

Таким образом, за второй месяц вкладчик получит доход уже 840 рублей, и так далее. Поэтому, размещая в банке депозит с капитализацией, можно получить больше прибыли, чем по вкладу с возможным снятием процентов.

Несколько статей по теме:

Приведем простой пример расчета сложных процентов для вклада сроком на три месяца.

Предположим, что на счет была внесена сумма 100 000 рублей под 12% годовых. Если забыть о сложном проценте, то предполагаемая прибыль определяется в 2958 рублей.

Но мы помним о капитализации и проводим расчеты, учитывая ежемесячное начисление процентов.

Для наглядности представим расчет в таблице:

Месяцы Сумма Тариф Дни Проценты Сумма с процентами
январь 100 000 12 31 1019 101 019
февраль 101 019 12 28 930 101 949
март 101 949 12 31 1039 102 988

Таким образом, вкладчик получит 2988 рублей. Это на 40 рублей больше, чем по схеме простого процента.

Тем, кто знаком с таблицами excel не составит труда сделать подобные расчеты для своих банковских вкладов.

Можно воспользоваться и математической формулой расчета:

S=P*(1+I/100)^n

S – общая сумма вклада с процентами (то, что получит вкладчик по окончании срока договора);

  • Р – базовая сумма, первоначальный размер депозита;
  • n –количество периодов начисления процентов (месяцев, лет, кварталов, дней);
  • I – годовая процентная ставка.

Например, заключая договор с банком на 12 месяцев под ставку 12% годовых, владелец вклада с капитализацией получит:

S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112829 руб.

Самые выгодные условия по вкладу

Из предыдущего раздела понятно, что схема с применением сложного процента дает больше прибыли, чем простые варианты. Но вкладчикам стоит знать о том, как банки могут манипулировать цифрами.

Самая распространенная уловка – предложение открыть вклад с начислением дохода в конце срока и увеличением ставки при пролонгации. На первый взгляд, подвоха нет: банк начислит положенный доход, увеличит тариф на следующий сезон.

Читайте также:  Ребалансировка портфеля - тонкости инвестиций

Но на цифрах это выглядит менее привлекательно: расчеты производятся по формуле простого процента. На депозит в размере 100 000 рублей по ставке 12% годовых банк начислит доход 12 000 рублей. Условия договора могут содержать и «подводные камни».

Например, при продлении вклада еще на год, тариф составит 12,5%. А при расторжении договора банк оставляет за собой право начислить доход по ставке 10% годовых.

Крайне рекомендуем обратить внимание на следующее видео:

Еще один распространенный в банках вариант «экономии»– по вкладу с капитализацией начислять доход ежеквартально. Заключая подобный договор, вкладчик может не понимать, в чем его потери. А расчет банка прост: проценты по депозиту начисляются в конце каждого квартала. Соответственно, и капитализация происходит четыре раза в год, а не двенадцать, как при ежемесячном начислении.

Вот пример такого подхода:

Таблица 1.

Ежемесячное начисление

Месяцы Сумма Тариф Дни Проценты Сумма с процентами
январь 100 000 12 31 1019 101 019
февраль 101 019 12 28 930 101 949
март 101 949 12 31 1039 102 988
апрель 102 988 12 30 1016 104 004
май 104 004 12 31 1060 105 064
июнь 105 064 12 30 1036 106 100
июль 106 100 12 31 1081 107 182
август 107 182 12 31 1092 108 274
сентябрь 108 274 12 30 1068 109 342
октябрь 109 342 12 31 1114 110 456
ноябрь 110 456 12 30 1089 111 546
декабрь 111 546 12 31 1137 112 682

Таблица 2.

Ежеквартальное начисление

Периоды Сумма Тариф Дни Проценты Сумма с процентами
1 100 000 12 90 2959 102 959
2 102 959 12 91 3080 106 039
3 106 039 12 92 3207 109 247
4 109 247 12 92 3304 112 551

Как видно, разница составляет 132 рубля в пользу банка.

Вкладчикам, которые хотят открыть короткий депозит, например, на несколько дней новогодних каникул, нужно знать о том, что день выдачи средств не считается в общем сроке их использования.

Простыми словами: открывая депозит 30 декабря и забирая деньги 12 января, клиент получит доход за 13 дней, а не за 14: банк не начислит проценты за 12 января.

Могут быть и другие нюансы, о которых стоит знать заранее. Поэтому, выбирая банк, нужно ориентироваться не только на величину процентов по вкладам, но и на способ начисления, условия выплаты и дополнительные возможности для вкладчика.

Источник: http://cleanbrain.ru/formula-slozhnyx-procentov-po-vkladam-raschet-rekomendacii

Магия сложного процента

Что такое сложные проценты? Это те деньги, которые вы зарабатываете, повторно инвестируя все ранее заработанные проценты. Сложные проценты объясняют, как богатые становятся богаче.

Приведенная далее статья объясняет, как рассчитывать сложные проценты и предлагает полезный рациональный способ, названный «Правило 72″, а также еще несколько практически полезных вещей для любого инвестора.

А начнем мы с простой задачки, на сложные проценты. Вероятно, вы слышали эту старую банальность: что вы предпочтете — получить миллион долларов наличными сейчас, или открыть на 31 день депозит в один цент под 100 процентов в день с капитализацией сложных процентов?

Все ответы далее…

Правильный ответ заключается в том, что нужно выбрать второе, так как это принесет сумму в 10 737 418.24 $. Звучит маловероятно, но математика показывает это:

День  1:  0.01 $ День  2:  0.01 х 2 = 0.02 $ День  3:  0.02 х 2 = 0.04 $ День  4:  0.04 х 2 = 0.08 $ День 11: 10.24 $ День 22: 20 971.52 $

День 31: 10 737 418.24 $

Теперь несложно понять, почему Альберту Эйнштейну приписывают слова: «Сложные проценты — это самая большая сила во Вселенной». Ведь именно сложные проценты делают богатых богаче.

Сложный и простой процент

Процент на капитал определяется, как стоимость займа денег, и в зависимости от того, как рассчитывается эта стоимость, процент на капитал можно классифицировать, как простой процент или сложный процент.

Простые проценты начисляются на основную или первоначальную сумму займа. Сложный процент начисляется на основную сумму и на накопленный процент за предыдущие периоды, и, тем самым, может восприниматься, как «процент на процент».

Величина суммы оплаты займа может значительно различаться, если процент вычисляется, как сложный, а не как простой. Положительным моментом здесь является то, что магия сложных процентов может работать в вашу пользу, если дело касается ваших инвестиций, и может стать мощным фактором в создании капитала.

В то время как простые и сложные проценты являются основными финансовыми понятиями, тщательное ознакомление с ними позволит принять более правильные решения при взятии кредит или осуществлении инвестиций. Это может сэкономить вам тысячи долларов в долгосрочной перспективе.

Практические примеры

Простой процент

Формула расчета простого процента выглядит так:

Простой процент = Основной капитал х Процентная ставка х Период займа = P x i x n

Тогда общая величина простого процента при процентной ставке в 5% и величине займа в 10 000 $ за период в три года будет равна 10 000 $ х 0.05 х 3 = 1 500 $. Процент по займу выплачивается ежегодно в сумме 500 $, что составит за три года сумму в 1 500 $

Сложный процент

Формула для вычисления сложного процента за год выглядит сложнее:

Сложный процент = сумма основного капитала и процента в будущем (будущее значение) минус величина основного капитала в настоящем (настоящее значение)

=  [P (1 + i)n] — P

= P [(1 + i)n — 1],

где P — основной капитал, i — процентная ставка, а n — число периодов наращения в году.

Возвращаясь к предыдущему примеру, что можно сказать о величине процента, если он будет рассчитываться, как сложный процент?  В этом случае, он будет равен:

10 000 $ [(1 + 0.05)3 — 1] = 10 000 $ [1.157625 — 1] = 1 576.25 $.

В результате, общая сумма выплачиваемых процентов за три года составит 1 576.25 $. Эта величина не равна сумме простых процентов за все три года, поскольку, в отличие от простого процента, сложный процент учитывает накопленную сумму процентов предыдущих периодов. Проценты, выплачиваемые в конце каждого года, показаны в приведенной ниже таблице

Год Начальное сальдо   Процент при 5%  Конечное сальдо
1 10 000.00 $ 500.00 $ 10 500.00 $
2 10 500.00 $ 525.00 $ 11 025.00 $
3 11 025.00 $ 551.00 $ 11 576.25 $
Общая сумма дохода 1 576.25 $

Периоды наращения

При вычислении сложного процента главную роль играет количество периодов наращения, попросту — период инвестиций.

В общем случае, чем больше число периодов наращения, тем больше величина сложного процента. Поэтому, для каждых 100 $ займа за определенный период, величина процента при 10% годовых будет ниже, чем при 5%, полугодовых что, в свою очередь будет ниже, чем процент, полученный при ежеквартальное ставке в 2.5%.

То есть, стоящая в скобках величина «i» должна быть поделено на «n» (количество периодов наращения в год). Стоящую вне скобок величину «n» нужно умножить на «t», общую длительность инвестирования.

Тем самым, для 10-летнего займа, при полугодовой капитализации (количество периодов наращения = 2), i = 5% (т.е., 10% / 2), а n = 20 (т.е., 10 х 2).

Для вычисления общей суммы сложных процентов нужно использовать следующую формулу:

= [P (1 + i/n)nt] — P = P [(1 + i/n)nt — 1], где P — основной капитал, i — годовая процентная ставка, n — число периодов наращения в году, а t — продолжительность инвестиции или займа в годах.

Следующая таблица демонстрирует разницу, к которой может привести количество периодов наращения для займа 10 000 $ на срок в 10 лет.

Частота наращения  Число периодов Величины i/n и nt Общий доход
Ежегодное 1 i/n = 10%, nt = 10 15 937.42 $
Полугодовое 2 i/n = 5%, nt = 20 16 532.98 $
Ежеквартальное 4 i/n = 2.5%, nt = 40 16 850.64 $
Ежемесячное 12 i/n = 0.833%, nt = 120 17 059.68 $

В следующем параграфе мы предложим ряд основных понятий, имеющих отношение к начислениям сложных процентов.

Временная стоимость денег

Поскольку деньги не являются «бесплатными», а имеют цену в терминах выплачиваемых процентов, отсюда следует, что сегодня доллар стоит больше, чем он будет стоить в будущем.

Эта концепция известна как временная стоимость денег (зависящая от времени), и она образует основу для относительно развитых методов, таких как анализ дисконтированного денежного потока (DCF).

Предоставление скидок является противоположностью сложным процентам, и скидка в процентах может рассматриваться как понятие, обратное к процентной ставке. Это тот коэффициент, на которой нужно умножать будущую стоимость денег, чтобы получить их сегодняшнюю стоимость.

Формулы для получения будущей стоимости (FV) и сегодняшней стоимости (PV) денег выглядят следующим образом:

FV = PV (1 +i/n)nt  и  PV = FV / (1 + i/n)nt

Например, будущая стоимость 10 000 $ при ставке 5% в год с учетом сложных процентов через три года составит:

= 10 000 $ (1 + 0.05)3

= 10 000 $ (1.157625)

= 11 576.25 $.

Сегодняшняя стоимость 11 576.25 $ со скидкой в 5% годовых за три года будет равна

= 11 576.25 $ / (1 + 0.05)3

= 11 576.25 $ / 1.157625

= 10 000 $

Обратная величина к 1.157625, равная 0.8638376, и является в данном примере коэффициентом дисконта.

Правило 72

Это правило вычисляет приблизительное время, в течение которого инвестиции удвоятся при ставке дохода «i». Это время примерно определяется формулой (72 / i). Правило 72 может быть использовано только при ежегодном начислении сложных процентов.

Например, если инвестиция осуществлена под 6% годовых, то ежегодный доход удвоится через 12 лет. При ставке в 8% ежегодный доход удвоится через 9 лет.

Сложный годовой темп роста (GAGR)

Показатель сложного годового темпа роста (GAGR), или роста с учетом сложных процентов, используется для большинства финансовых приложений, которые требуют вычисления единого показателя роста в течение определенного периода времени.

Например, если портфель ваших инвестиций за пять лет вырос с 10 000 $ до 16 000 $, то каков будет GAGR? В сущности, это означает PV = -10 000 $, FV = 16 000 $, а nt = 5,  и нужно вычислить значение «i». Используя финансовый калькулятор, или электронную таблицу Excel, можно показать, что i = 9.86%.

Читайте также:  Заработок на написании статей в интернете — биржи копирайтинга - тонкости инвестиций

(Заметим что согласно соглашению о движению денежной наличности ваши начальные инвестиции (PV) в 10 000 $ показаны со знаком минус, поскольку они представляют отток фондов. PV и FV обязательно должны иметь разные знаки для получения «i» из приведенного выше уравнения).

Применения в реальной жизни

  • Сложный годовой темп роста (GAGR) часто используется для вычисления дохода в течение заданных периодов времени, для акций, для взаимно предоставляемых фондов и портфеля инвестиций. GAGR также используется для выяснения того, не превысил ли управляющий фонда рыночный уровень доходности за определенный период времени. Например, если индекс рынка за пятилетний период составил 10%, но фонд получил обобщенный годовой доход за тот же период только в 9%, то значит, что руководство фонда приложило недостаточные усилия.
  • Показатель GAGR также может быть использован для расчета ожидаемого роста инвестиционного портфеля в течение длительного периода времени, что бывает полезно для таких целей, как пенсионные накопления. Вот несколько примеров:
  1. Не склонный к риску инвестор может чувствовать себя счастливым при скромном годовом доходе в 3% на свой инвестиционный портфель. Сегодняшний его портфель объем в 100 000 $ через двадцать лет вырастет до величины в 180 611 $.

    С другой стороны, рискованный инвестор, ожидающий 6% годового дохода, увидит рост 100 000 $ после 20 лет до 320 714 $.

  1. Показатель GARG может быть использован для оценки того, сколько требуется откладывать, чтобы сэкономить средства для конкретной цели.

    Семейная пара, которая хотела бы накопить в течение 10 лет 50 000 $ с целью снижения платежей по закладной, должна будет ежегодно откладывать 4 165 $ в предположении, что ежегодный доход (GAGR) составит 4% от их сбережений. Если они готовы на небольшой риск, и ожидают GAGR в 5%, то ежегодно им будет нужно откладывать уже 3 975 $.

  2. Величина CAGR также может быть использована для демонстрации достоинства раннего начала инвестирования. Допустим, целью является получение 1 миллиона долларов к моменту выхода на пенсию в возрасте 65 лет. Основываясь на GAGR в 6% 25-летний человек для достижения этой цели должен вкладывать ежегодно 6 462 $.

    А если начать инвестировать в 40 лет, то для достижения той же цели потребуется откладывать ежегодно 18 227 $, что почти в три раза больше.

  • GAGR часто появляется в экономических данных. Например, ВВП Китая на душу населения увеличился с 193 $ в 1980 году, до 6 091 $ в 2012 году. Каков же ежегодный рост ВВП на душу населения за этот 32-летний период? В данном случае он составил впечатляющую величину в 11.4%.

Все это, с описанием того, как использовать все эти функции в эксель, Вы можете найти также в моей статье — мой личный финансовый план.

Что следует учитывать

  • Убедитесь, что вы знаете точную годовую плату (APR) за взятый кредит, поскольку метод расчета и количество периодов наращения может оказать значительное влияние на ваши ежемесячные платежи. Хотя банки и финансовые организации имеют стандартные методы расчета процентной ставки при платежах по закладным и другим кредитам, эти расчеты могут несколько отличаться в различных округах.
  • Сложные проценты могут работать на благо вам, когда речь идет о ваших инвестициях, но и при оплате кредита они тоже могу работать в вашу пользу. Например, оплачивая закладную дважды в месяц, вместо того, что производить один полный платеж раз в месяц, вы сможете снизить период амортизации и сэкономить заметное количество денег.
  • Сложные проценты могут работать против вас, если вы оплачиваете займы с очень высокой процентной ставкой. К таким займам относятся погашение кредита по карте или выплата задолженности по рассрочке в универмаге. Например, кредитная карта с балансом в 25 000 $ имеет процентную ставку в 25%, ежемесячно начисляемую в виде сложных процентов. Это приводит к сумме платежей в 5 485 $ за год, или 457 $ в месяц.

Итоги

Заставьте магию сложных процентов работать на себя, регулярно инвестируя и увеличивая частоту своих выплат по кредиту. Знание основных понятий, относящихся к простым и сложным процентам, поможет вам принимать более правильные финансовые решения, сохранить тысячи долларов и со временем увеличить ваш чистый капитал.

Ссылки — http://www.investopedia.com/

Источник: http://profit-fx.ru/magiya-slozhnogo-protsenta/

Простые и сложные проценты дисконтирование

Поиск Лекций

Существует две основные схемы наращения капитала:

— схема простых процентов

— схема сложных процентов.

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая норма доходности — i. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (Рi). Через n лет размер инвестированного капитала S(n) будет равен:

S(n)= P + Pi + … + Pi = P(1 + ni). (2.6)

Это формула простых процентов, где n — срок инвестиций. Стандартный временной интервал в финансовых операциях — один год.

Если ссуда выдается на t дней, то срок инвестиций определяется по формуле:

n = t / K. (2.7)

где t — число дней ссуды, К — число дней в году или временная база.

Если К = 360 (30 дн. x 12 мес.), то полученные проценты называют обыкновенными или коммерческими. Если К = 365 дн., К = 366 дн., то получают точные проценты.

Число дней ссуды t также можно измерять приближенно и точно, т.е. либо условно — 30 дней в месяц, либо точно — по календарю.

Простая процентная ставка.

Любые проблемы, связанные с финансами, имеют множество нюансов. И это в полной мере относится к расчетам по формуле. Причем в практических проблемах, связанных с расчетом процентов, эти нюансы в основном касаются определения длительности займа t. Отметим некоторые из них. Для этого еще раз напомним, что мы договорились считать единицей времени год.

В краткосрочном контракте по предоставлению кредита срок его действия естественно измерять днями. Поэтому при выбранной единице времени длительность займа удобно записывать в виде t = n/N (1) где n — длительность контракта в днях, а N — число дней в году. При этом оказывается, что в разных странах мира сложилась своя практика, банковская и коммерческая, в отношении базы времени N.

Возможны следующие четыре варианта: N=360, N=3б5, N=365,25, N = 366, из которых первый во многих странах называется коммерческим годом. Но выбор одного из этих вариантов еще не вносит полную ясность в расчет t поскольку не меньше подходов к определению числа n. Так, оно может быть точным числом дней от одной даты до другой, включающим или не включающим в себя границы.

Хотя наиболее распространенная практика определения числа дней ссуды по календарю такая: первый день не учитывается, а последний – учитывается. Но это же число может получаться совсем по-другому.

Например, когда рассматриваемый период (ссуды) разбивается на три части, две из которых — первая и третья — выражаются в днях, а средняя — точным числом месяцев, которые берутся равными 30 дням, или семестров, равных 90 дням.

Кстати, в Германии, Дании, Швеции год условно считается коммерческим, а месяц — имеющим 30 дней. Также коммерческий год используется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии. Но здесь предпочитают рассчитывать точное число дней контракта по календарю.

Наконец, обычный год в 365 дней (или 366) и календарный расчет срока распространен

в таких странах, как Португалия, США и Великобритания. При этом, скажем, в Англии,

при банковских ссудах полгода приравниваются к 182 дням.

В банковской системе используют три способа расчета процентов:

— Точеные проценты с точным числом дней ссуды или 365/365.

— Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды или 365/360.

— Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды или 360/360.

Вариант 360/365 на практике не применяется.

Формула наращения по простой процентной ставке

Пусть:

I-проценты за весь срок ссуды, Р — первоначальная сумма долга, S-наращенная сумма, или сумма в конце срока, i-ставка наращения (десятичная дробь), n-срок ссуды. Каждый год процента составляют Рi.

Начисленные за весь срок проценты:

I=Pni

S=Р+I=Р(1+ni) (3)

Это — формула простых процентов. Множитель — множитель наращения проема процентов.

Переменные ставки.

Если предусмотрены изменяющиеся во времени процентные ставки, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

S=Р(1+n1i2+n2i2+…+nmim)

Где ik-процентная ставка в период k, nk — продолжительность периода к.

В ряде практических приложений финансового анализа встает вопрос об определении первоначальной суммы долга по накопленной сунне, в зависимости от используемой ставки он решается путей использования математического дисконтирования или банковского учета. Математическое дисконтирование является точным формальным решением обратной задачи.

Р=S/(1+ni)

Множитель: 1 /(1+ni) называют дисконтным множителем.

Сложные проценты.

Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты.

Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени разбивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры.

В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать! Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции. Формула наращения сложных процентов

S=P(1+i)n

Р — первоначальная сумма долга, S — наращенная сумма, или сумма в конце срока,

i-ставка наращения(десятичная дробь), n-срок ссуды.

Источник: https://poisk-ru.ru/s48847t2.html

Ссылка на основную публикацию